В семье 5 детей. Вероятность появления девочки составляет 0, 47. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее 3-х мальчиков
Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы имеем независимые испытания (появление мальчика или девочки) с фиксированным числом испытаний (5 детей).
Обозначим:
- \( p \) — вероятность рождения девочки = 0.47,
- \( q = 1 - p \) — вероятность рождения мальчика = 0.53,
- \( n = 5 \) — общее количество детей.
Мы ищем вероятность того, что среди 5 детей не менее 3-х мальчиков. Это означает, что мы ищем вероятность событий, когда количество мальчиков \( k \) равно 3, 4 и 5.
Формула для биномиального распределения выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Расчет вероятности для случаев \( k = 3, 4, 5 \):
Для \( k = 3 \) (3 мальчика и 2 девочки): \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.53)^3 \cdot (0.47)^2 = 10 \cdot (0.53)^3 \cdot (0.47)^2 \]
Для \( k = 4 \) (4 мальчика и 1 девочка): \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.53)^4 \cdot (0.47)^1 = 5 \cdot (0.53)^4 \cdot (0.47)^1 \]
Для \( k = 5 \) (5 мальчиков): \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.53)^5 \cdot (0.47)^0 = 1 \cdot (0.53)^5 \]
Теперь подставим значения и вычислим каждую из вероятностей.
Вычисление \( P(X = 3) \): \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.53)^3 \cdot (0.47)^2 \approx 10 \cdot 0.148877 \cdot 0.2209 \approx 0.328 \]
Вычисление \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.53)^4 \cdot (0.47)^1 \approx 5 \cdot 0.078081 \cdot 0.47 \approx 0.183 \]
Вычисление \( P(X = 5) \): \[ P(X = 5) = 1 \cdot (0.53)^5 \approx 1 \cdot 0.041025 \approx 0.041 \]
Теперь складываем эти вероятности, чтобы получить полную вероятность того, что не менее 3-х мальчиков:
\[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \approx 0.328 + 0.183 + 0.041 \approx 0.552 \]
Таким образом, вероятность того, что среди 5 детей не менее 3-х мальчиков, составляет примерно 0.552 или 55.2%.
