Корень(5х+11)>х+3
Чтобы решить неравенство \(\sqrt{5x + 11} > x + 3\), следуем следующим шагам:
Определим область определения: Для того чтобы корень был определён, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[ 5x + 11 \geq 0 \] Это неравенство решается так: \[ 5x \geq -11 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{11}{5} \]
Преобразуем неравенство: Для решения \(\sqrt{5x + 11} > x + 3\) возведём обе стороны в квадрат, но нужно помнить, что это может добавить лишние решения, так как квадратное неравенство может быть ложным. Мы получим: \[ 5x + 11 > (x + 3)^2 \] Раскроем правую часть: \[ 5x + 11 > x^2 + 6x + 9 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 0 > x^2 + 6x + 9 - 5x - 11 \] Упрощаем: \[ 0 > x^2 + x - 2 \] Это соответствует неравенству: \[ x^2 + x - 2 < 0 \]
Находим корни квадратного уравнения: Используем формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Корни: \[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 \]
Определим интервалы: Корни делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, -2)\), \((-2, 1)\) и \((1, +\infty)\).
Проверяем каждый интервал:
Для интервала \((-\infty, -2)\) (например, \(x = -3\)): \[ (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \quad \text{(больше 0)} \]
Для интервала \((-2, 1)\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 0 - 2 = -2 \quad \text{(меньше 0)} \]
Для интервала \((1, +\infty)\) (например, \(x = 2\)): \[ (2)^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \quad \text{(больше 0)} \]
Таким образом, неравенство \(x^2 + x - 2 < 0\) выполняется на интервале \((-2, 1)\).
- Совмещаем с областью определения: Условие \(x \geq -\frac{11}{5} \approx -2.2\) позволяет нам оставить только часть интервала, которая удовлетворяет обеим условиям. Получаем:
\[ -\frac{11}{5} \leq x < 1 \]
Итак, окончательный ответ:
\[ x \in \left[-\frac{11}{5}, 1\right) \]
