|х+2| + |х-2| = 6

Решим уравнение \(|x + 2| + |x - 2| = 6\).

Для решения мы будем рассматривать разные случаи, так как выражения под модулем могут быть как положительными, так и отрицательными. Разделим ось на интервал по значениям, которые делают выражения под модулем равными нулю: \(x = -2\) и \(x = 2\).

Случай 1: \(x < -2\)

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательные: \[ |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2, \] \[ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2. \] Подставим эти выражения в уравнение: \[ -x - 2 - x + 2 = 6 \implies -2x = 6 \implies x = -3. \] Проверим, находится ли \(x = -3\) в интервале \(x < -2\): да.

Случай 2: \(-2 \leq x < 2\)

Здесь одно выражение под модулем отрицательное, а другое положительное: \[ |x + 2| = x + 2, \] \[ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2. \] Подставим: \[ x + 2 - x + 2 = 6 \implies 4 = 6. \] Это равенство неверно, значит, в этом интервале решений нет.

Случай 3: \(x \geq 2\)

В этом случае оба выражения под модулем положительные: \[ |x + 2| = x + 2, \] \[ |x - 2| = x - 2. \] Подставим их в уравнение: \[ x + 2 + x - 2 = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3. \] Проверим, находится ли \(x = 3\) в интервале \(x \geq 2\): да.

Итог

Таким образом, у нас есть два решения: \[ x = -3 \quad \text{и} \quad x = 3. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно разобрать другой материал, пишите!