Постройте график функции у=2х²+8х+2 и найдите, используя график: а) значения у при х=-2,3;-0;5;1,2 б) значиния х,при которых у=-4;-1;1,7 в)нули функции и промежутки знакопостоянства г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции

Чтобы построить график функции \( y = 2x^2 + 8x + 2 \), начнем с анализа квадратичной функции, которая имеет форму \( ax^2 + bx + c \) с \( a = 2 \), \( b = 8 \) и \( c = 2 \).

Шаг 1: Найдем вершину параболы.

Вершина параболы располагается по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2. \] Теперь подставим \( x = -2 \) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2(4) - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6. \] Вершина параболы — точка \((-2; -6)\).

Шаг 2: Найдем значения \( y \) при \( x = -2.3, -0, 5, 1.2 \).

Теперь найдем \( y \) для указанных значений \( x \).

1. При \( x = -2.3 \): \[ y = 2(-2.3)^2 + 8(-2.3) + 2 = 2(5.29) - 18.4 + 2 \approx 10.58 - 18.4 + 2 \approx -5.82. \]

2. При \( x = 0 \): \[ y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2. \]

3. При \( x = 5 \): \[ y = 2(5)^2 + 8(5) + 2 = 2(25) + 40 + 2 = 50 + 40 + 2 = 92. \]

4. При \( x = 1.2 \): \[ y = 2(1.2)^2 + 8(1.2) + 2 = 2(1.44) + 9.6 + 2 = 2.88 + 9.6 + 2 = 14.48. \]

Ответ для пункта а:

• \( y \) при \( x = -2.3 \) примерно \(-5.82\)
• \( y \) при \( x = 0 \) равно \( 2 \)
• \( y \) при \( x = 5 \) равно \( 92 \)
• \( y \) при \( x = 1.2 \) примерно \( 14.48 \)

Шаг 3: Найдем значения \( x \), при которых \( y = -4, -1, 1.7 \).

Для нахождения корней уравнения \( y = k \), подставляем \( k \) и решаем уравнение \( 2x^2 + 8x + (2 - k) = 0 \).

1. Для \( y = -4 \): \[ 2x^2 + 8x + (2 + 4) = 0 \rightarrow 2x^2 + 8x + 6 = 0 \rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0. \] Применив формулу дискриминанта: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad -3. \]

2. Для \( y = -1 \): \[ 2x^2 + 8x + (2 + 1) = 0 \rightarrow 2x^2 + 8x + 3 = 0. \] \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40. \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}. \]

3. Для \( y = 1.7 \): \[ 2x^2 + 8x + (2 - 1.7) = 0 \rightarrow 2x^2 + 8x + 0.3 = 0. \] \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0.3 = 64 - 2.4 = 61.6. \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{61.6}}{4}. \]

Ответ для пункта б:

• При \( y = -4 \): \( x \approx -1 \), \( -3 \)
• При \( y = -1 \): \( x \approx -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \)
• При \( y = 1.7 \): \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{61.6}}{4} \)

Шаг 4: Найдем нули функции и промежутки знакопостоянства.

Нули функции — это корни уравнения \( 2x^2 + 8x + 2 = 0 \): \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 16 = 48. \] Корни: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{4} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{4} = -2 \pm \sqrt{3}. \]

Промежутки знакопостоянства определяются по знакам квадратичной функции:

• Функция будет положительна, когда \( x < -2 - \sqrt{3} \) и \( x > -2 + \sqrt{3} \).
• Функция отрицательна на интервале \( (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3}) \).

Шаг 5: Промежутки возрастания и убывания, наименьшее значение.

Функция возрастает:

• на интервале \( (-\infty, -2) \) Функция убывает:
• на интервале \( (-2, \infty) \) Наименьшее значение функции достигнуто в вершине — это \( y = -6 \).

Ответ для пунктов в, г:

• Нули функции: \( x \approx -2 - \sqrt{3} \), \( -2 + \sqrt{3} \)
• Промежутки знакопостоянства: \( (-\infty, -2 - \sqrt{3}) \) (положительно), \( (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) \) (отрицательно), \( (-2 + \sqrt{3}, \infty) \) (положительно)
• Промежутки возрастания: \( (-\infty, -2) \)
• Промежутки убывания: \( (-2, \infty) \)
• Наименьшее значение функции: \( -6 \) при \( x = -2 \)

Теперь вы можете построить график функции на основе указанных расчетов!