|х+2| + |х-2| = 4 |х+2| + |х-2| = 2
Решим систему уравнений, состоящую из двух уравнений с модульными выражениями:
- \( |x + 2| + |x - 2| = 4 \)
- \( |x + 2| + |x - 2| = 2 \)
Первое уравнение: \( |x + 2| + |x - 2| = 4 \)
Чтобы решить это уравнение, рассмотрим разные случаи в зависимости от значений \(x\).
Случай 1: \(x < -2\) В этом случае: \[ |x + 2| = -(x + 2) \] \[ |x - 2| = -(x - 2) \] Подставляем: \[ -(x + 2) - (x - 2) = 4 \] \[ -2x = 4 \] \[ x = -2 \] Это значение не подходит, так как \(x < -2\).
Случай 2: \(-2 \leq x < 2\) Здесь: \[ |x + 2| = x + 2 \] \[ |x - 2| = -(x - 2) \] Подставляем: \[ (x + 2) - (x - 2) = 4 \] \[ 4 = 4 \] Это верно для любого \(x\) в этом диапазоне, так что решения: \( -2 \leq x < 2 \).
Случай 3: \(x \geq 2\) Здесь: \[ |x + 2| = x + 2 \] \[ |x - 2| = x - 2 \] Подставляем: \[ (x + 2) + (x - 2) = 4 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Это значение подходит, так что одно решение: \(x = 2\).
Итак, для первого уравнения решения: \[ -2 \leq x < 2 \quad \text{и} \quad x = 2. \]
Второе уравнение: \( |x + 2| + |x - 2| = 2 \)
Аналогично, рассмотрим случаи:
Случай 1: \(x < -2\) \[ |x + 2| = -(x + 2) \] \[ |x - 2| = -(x - 2) \] Подставляем: \[ -(x + 2) - (x - 2) = 2 \] \[ -2x = 2 \] \[ x = -1 \] Это значение не подходит, так как \(x < -2\).
Случай 2: \(-2 \leq x < 2\) \[ |x + 2| = x + 2 \] \[ |x - 2| = -(x - 2) \] Подставляем: \[ (x + 2) - (x - 2) = 2 \] \[ 4 = 2 \] Это неверно, значит, нет решений в этом диапазоне.
Случай 3: \(x \geq 2\) \[ |x + 2| = x + 2 \] \[ |x - 2| = x - 2 \] Подставляем: \[ (x + 2) + (x - 2) = 2 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Это значение не подходит, так как \(x \geq 2\).
Итак, для второго уравнения решений нет.
Заключение
Первое уравнение имеет решения: \[-2 \leq x < 2 \quad \text{и} \quad x = 2. \]
Второе уравнение не имеет решений.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, дайте знать!
