Маша и медведь договорились пойти в поход в 7 часов утра. Когда медведь проснулся, он обнаружил, что сильно проспал. Он быстро собрался и побежал догонять Машу. Маша шла не торопясь и напевала песни. Медведь бежал в 6 раз быстрее Маши. Он догнал её через полчаса. С какой скоростью бежал медведь, если, когда он выбежал из дома, расстояние от него до Маши равнялось 5 км?

Обозначим скорость Маши как \( v \) км/ч. Таким образом, скорость медведя будет равна \( 6v \) км/ч.

Когда медведь выбежал из дома, он находился на расстоянии 5 км от Маши. Маша уже шла в течение некоторого времени, и за это время она прошла определённое расстояние.

Пусть \( t \) — время (в часах), которое прошло с момента, когда Маша вышла в 7:00, до момента, когда медведь выбежал из дома. Тогда расстояние, которое прошла Маша за это время, можно выразить как \( v \cdot t \) км.

Когда медведь выбежал, расстояние от него до Маши составило \( 5 \) км, следовательно, можно записать уравнение:

\[ 5 = v \cdot t \]

После того как медведь выбежал, он догнал Машу через полчаса. За это время он прошел 5 км (начальное расстояние) и расстояние, которое прошла Маша за полчаса.

Маша в течение полчаса прошла расстояние \( v \cdot 0.5 \) км, и тогда, используя скорость медведя, мы можем записать:

\[ 6v \cdot 0.5 = 5 + v \cdot 0.5 \]

Упростим уравнение:

\[ 3v = 5 + 0.5v \]

Переносим \( 0.5v \) на левую сторону:

\[ 3v - 0.5v = 5 \]

\[ 2.5v = 5 \]

Теперь находим скорость Маши:

\[ v = \frac{5}{2.5} = 2 \text{ км/ч} \]

Теперь находим скорость медведя:

\[ 6v = 6 \cdot 2 = 12 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость медведя составила \( 12 \) км/ч.