"3. Заданы координаты вершин треугольника A;(7; 5; 3), A2(9; 4; 4), A3(4; 5; 7). Найти:\na) векторы = A1A2 и d = A1A3;\nб) длины векторов с и d;\nв) скалярное произведение векторов d;\nд) угол между векторами с и d;\ne) векторное произведение с × d;\nж) площадь треугольника A1А2А3."

а) Чтобы найти векторы A1A2 и A1A3, вычтите координаты точки A1 из координат точек A2 и A3 соответственно:

A1A2 = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) A1A3 = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4)

б) Длины векторов с и d можно найти по формуле длины вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

|с| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(6) |d| = sqrt((-3)^2 + 0^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5

в) Скалярное произведение векторов d можно найти, перемножив соответствующие координаты и сложив результаты:

d * d = (-3 * 2) + (0 * -1) + (4 * 1) = -6 + 0 + 4 = -2

д) Угол между векторами с и d можно найти по формуле скалярного произведения векторов и их длин:

cos(θ) = (с * d) / (|с| * |d|) θ = arccos(-2 / (sqrt(6) * 5))

е) Векторное произведение векторов с и d можно найти по формуле:

с × d = ((-1 * 4) - (1 * 0); (2 * 4) - (1 * -3); (2 * 0) - (-1 * -3)) с × d = (-4 - 0; 8 + 3; 0 + 3) = (-4; 11; 3)

ж) Площадь треугольника A1A2A3 можно найти как половину модуля векторного произведения векторов A1A2 и A1A3:

Площадь = 1/2 * |A1A2 × A1A3| Площадь = 1/2 * |(-4; 11; 3)| Площадь = 1/2 * sqrt((-4)^2 + 11^2 + 3^2) Площадь = 1/2 * sqrt(16 + 121 + 9) Площадь = 1/2 * sqrt(146)