"3. Заданы координаты вершин треугольника A;(7; 5; 3), A2(9; 4; 4), A3(4; 5; 7). Найти:\na) векторы = A1A2 и d = A1A3;\nб) длины векторов с и d;\nв) скалярное произведение векторов d;\nд) угол между векторами с и d;\ne) векторное произведение с × d;\nж) площадь треугольника A1А2А3."

а) Векторы 𝐴₁𝐴₂ и 𝑑 можно найти, вычтя координаты начальной точки из координат конечной точки. Для вектора 𝐴₁𝐴₂: (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1). Для вектора 𝑑: (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4).

б) Длины векторов с и d можно найти, используя формулу длины вектора: √(𝑥² + 𝑦² + 𝑧²). Длина вектора 𝐴₁𝐴₂: √(2² + (-1)² + 1²) = √6. Длина вектора 𝑑: √((-3)² + 0² + 4²) = √25 = 5.

в) Скалярное произведение векторов d можно найти, умножив соответствующие координаты векторов и их сложением. Скалярное произведение векторов 𝑑: (-32 + 0(-1) + 4*1) = (-6 + 0 + 4) = -2.

д) Угол между векторами с и d можно найти, используя формулу cos(𝜃) = (𝐴•𝐵) / (|𝐴|*|𝐵|), где 𝐴 и 𝐵 - векторы, • обозначает скалярное произведение, а |𝐴| и |𝐵| - длины векторов. Угол между векторами 𝑑: arccos((-2) / (√6 * 5)).

е) Векторное произведение векторов с и d можно найти, используя формулу: (𝑎𝑏 - 𝑏𝑎, 𝑏𝑐 - 𝑐𝑏, 𝑐𝑎 - 𝑎𝑐). Векторное произведение векторов 𝑠 × 𝑑: (-14 - 10; 24 - 1(-3); 20 - (-1)(-3)) = (-4 - 0; 8 - (-3); 0 - 3) = (-4; 11; -3).

ж) Площадь треугольника 𝐴₁𝐴₂𝐴₃ можно найти, используя формулу площади треугольника через векторное произведение: 0.5 * |(𝐴₁𝐴₂ × 𝐴₁𝐴₃)|. Подставим значения векторов 𝑠 и 𝑑 в эту формулу и найдем площадь.