Найдите cos ⁡ x cosx , если sin ⁡ x = 19 10 sinx= 10 19 ​ ​ и 9 0 ∘ < x < 18 0 ∘ 90 ∘

Чтобы найти \( \cos x \) при условии, что \( \sin x = \frac{19}{10} \) и угол \( x \) находится в диапазоне \( 90^\circ < x < 180^\circ \), начнем с анализа.

Сначала заметим, что значение \( \sin x \) не может превышать 1. Следовательно, \( \sin x = \frac{19}{10} \) – это неверное значение.

Если получить верное значение для \( \sin x \), например, \( \sin x = \frac{10}{19} \) (что соответствует соотношению в диапазоне углов), то мы могли бы продолжить. Тогда \( x \) попадает во второй квадрант, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставим значение \( \sin x \):

\[ \left(\frac{10}{19}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \]

Посчитаем \( \left(\frac{10}{19}\right)^2 \):

\[ \frac{100}{361} + \cos^2 x = 1 \]

Теперь выразим \( \cos^2 x \):

\[ \cos^2 x = 1 - \frac{100}{361} = \frac{361}{361} - \frac{100}{361} = \frac{261}{361} \]

Теперь найдём \( \cos x \):

\[ \cos x = -\sqrt{\frac{261}{361}} = -\frac{\sqrt{261}}{19} \]

Поскольку мы знаем, что в втором квадранте косинус отрицателен, итоговое значение:

\[ \cos x = -\frac{\sqrt{261}}{19} \]

Таким образом, если \( \sin x = \frac{10}{19} \), то \( \cos x \) будет равно \( -\frac{\sqrt{261}}{19} \).