Постройте график функции у=2х²+8х+2 и найдите используя график значиния у при х=-2,3;-0,5;1,2 значиния х при у=-4;-1;1,7 нули функции и промежутки знакопостоянства промежутки возврастания и убывания функции наименьшее значение функции

Для решения поставленной задачи начнем с построения графика функции \( y = 2x^2 + 8x + 2 \).

1. Определение характеристик функции: Это квадратичная функция (парабола) с коэффициентом перед \( x^2 \) равным 2, что указывает на то, что парабола будет «улыбаться» (открыта вверх).

2. Вычисление значения \( y \) при заданных \( x \): Теперь найдем значения функции при \( x = -2,3 \); \( x = -0,5 \); \( x = 1,2 \).

   • Для \( x = -2.3 \): \[ y = 2(-2.3)^2 + 8(-2.3) + 2 = 2(5.29) - 18.4 + 2 = 10.58 - 18.4 + 2 = -5.82 \]

   • Для \( x = -0.5 \): \[ y = 2(-0.5)^2 + 8(-0.5) + 2 = 2(0.25) - 4 + 2 = 0.5 - 4 + 2 = -1.5 \]

   • Для \( x = 1.2 \): \[ y = 2(1.2)^2 + 8(1.2) + 2 = 2(1.44) + 9.6 + 2 = 2.88 + 9.6 + 2 = 14.48 \]

   Итак, мы нашли значения:

   • \( y(-2.3) \approx -5.82 \)
   • \( y(-0.5) = -1.5 \)
   • \( y(1.2) \approx 14.48 \)

3. Вычисление \( x \) при заданных \( y \): Теперь найдем значения \( x \) при \( y = -4 \); \( y = -1 \); \( y = 1.7 \) отравив уравнение \( 2x^2 + 8x + 2 = y \).

   • Для \( y = -4 \): \[ 2x^2 + 8x + 2 + 4 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 8x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \] Решая, мы получаем: \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = -3 \]

   • Для \( y = -1 \): \[ 2x^2 + 8x + 2 + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 8x + 3 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40 \] Корни: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \]

   • Для \( y = 1.7 \): \[ 2x^2 + 8x + 2 - 1.7 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 8x + 0.3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0.3 = 64 - 2.4 = 61.6 \] Корни: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{61.6}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{61.6}}{4} \]

4. Нули функции: Нули функции находятся там, где \( y = 0 \): \[ 2x^2 + 8x + 2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 16 = 48 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-8 - \sqrt{48}}{4} \text{ и } x_2 = \frac{-8 + \sqrt{48}}{4} \]

5. Промежутки знакопостоянства: Функция будет положительной между двумя её нулями и отрицательной до первого нуля и после второго.

6. Промежутки возрастания и убывания: Находим производную функции: \[ f'(x) = 4x + 8 \] Нули производной (где функция меняет возрастание и убывание): \[ 4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Функция убывает на \( (-\infty, -2) \) и возрастает на \( (-2, +\infty) \).

7. Наименьшее значение функции: Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы, которая находится в точке: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 \] При \( x = -2 \): \[ y(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2(4) - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6 \]

Итак, подводя итоги:

• Значения \( y \) при заданных \( x \):

  • \( y(-2.3) \approx -5.82 \)
  • \( y(-0.5) = -1.5 \)
  • \( y(1.2) \approx 14.48 \)

• Значения \( x \) при заданных \( y \):

  • \( x \approx -1 \) и \( -3 \) при \( y = -4 \)
  • \( x = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \) при \( y = -1 \)
  • \( x = -2 \pm \frac{\sqrt{61.6}}{4} \) при \( y = 1.7 \)

• Нули функции находят два значения.

• Промежутки знакопостоянства: \( (-\infty, x_1) \) (отрицательно), \( (x_1, x_2) \) (положительно), \( (x_2, +\infty) \) (отрицательно).

• Функция убывает на \( (-\infty, -2) \) и возрастает на \( (-2, +\infty) \).

• Наименьшее значение функции: \( y_{\min} = -6 \) при \( x = -2 \).