Найдите tg а, если cos а=√10/10 и а э(3п/2;2п).

Для нахождения тангенса угла \( a \), когда известен косинус угла и диапазон значений, можно использовать тригонометрическую идентичность:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Где \(\sin a\) можно найти с помощью следующей формулы:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Зная, что \( \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} \), вычислим \(\sin a\):

1. Подставим значение косинуса в уравнение:

\[ \sin^2 a + \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 \]

2. Посчитаем \(\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2\):

\[ \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \]

3. Подставим это значение в уравнение:

\[ \sin^2 a + \frac{1}{10} = 1 \]

4. Преобразуем уравнение:

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]

5. Теперь найдём \(\sin a\):

\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Теперь определим знак \(\sin a\). Поскольку \( a \) находится в интервале \((\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\), это означает, что угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен:

\[ \sin a = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Теперь можем найти тангенс угла:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -3 \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \tan a = -3 \]