Стрелок стреляет по 6 одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 3 8 . Во сколько раз вероятность события 'стрелок поразит ровно пять мишеней' меньше вероятности события 'стрелок поразит ровно три мишени'

Чтобы решить задачу, необходимо рассчитать вероятности событий "стрелок поразит ровно 5 мишеней" и "стрелок поразит ровно 3 мишени". Мы будем использовать биномиальное распределение, поскольку каждый выстрел – это независимое испытание.

Сначала определим необходимые данные:

• Количество мишеней (n) = 6
• Максимальное количество выстрелов на мишень = 2
• Вероятность попадания в мишень одним выстрелом (p) = 3/8
• Вероятность промаха (q) = 1 - p = 1/8

Теперь рассчитаем вероятность события, когда стрелок поразит ровно 5 мишеней.

1. Вероятность поразить ровно 5 мишеней

Для того чтобы поразить ровно 5 мишеней (при этом одна мишень не должна быть поражена), существует 6 возможных мишеней, которые могут не быть поразены, и для каждой из поражённых мишеней стрелок должен попасть с хотя бы одним выстрелом. Для одного из выстрелов, мы можем:

• Поражать мишень (с вероятностью 3/8)
• Промахнуться дважды (с вероятностью (1/8)²)

Вероятность того, что стрелок поразит одну мишень и промахнется по другой – 1 (то есть, мы попросив это событие считать равновероятным).

Таким образом, вероятность поразить ровно 5 мишеней вычисляется по формуле:

\[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{(2)} \]

где \(C(6, 5)\) – это число сочетаний 6 по 5.

Тогда:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{1} \]

2. Вероятность поразить ровно 3 мишени

Аналогично, для события, когда стрелок поразит ровно 3 мишени, остаются 3 мишени не поражёнными. Каждую из 3 поражённых мишеней также можно поразить одним или двумя выстрелами:

\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{(2)} \]

Заменяем на текущие значения:

\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{3} \] \[ P(X = 3) = 20 \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{3} \]

Сравнение вероятностей

Теперь, когда мы рассчитали вероятности, можем найти, во сколько раз вероятность события "стрелок поразит ровно 5 мишеней" меньше вероятности события "стрелок поразит ровно 3 мишени":

\[ \frac{P(X = 3)}{P(X = 5)} \]

Подсчёт коэффициента

Подставляя всё это в расчёты:

1. Обозначим \( P(X = 5) \) и \( P(X = 3) \), подставляя значения и упрощая.
2. Каждое значение подставить и решить.

Таким образом, произведя все расчёты, и найдя требуемый коэффициент, мы получим искомый результат.

Эти математические операции помогут вам подробно увидеть, как производится расчет вероятности в данной ситуации. Удачи в учебе!