Решить уравнение: √x²-x-3=3

Давайте решим уравнение:

\[ \sqrt{x^2 - x - 3} = 3. \]

Для начала, чтобы избавиться от квадратного корня, мы возведём обе стороны уравнения в квадрат:

\[ x^2 - x - 3 = 3^2. \]

Это дает нам:

\[ x^2 - x - 3 = 9. \]

Теперь перенесём 9 на левую сторону:

\[ x^2 - x - 3 - 9 = 0, \]

или, упрощая, получим:

\[ x^2 - x - 12 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -1 \), и \( c = -12 \). Подставим эти значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}. \]

Вычисляем дискриминант:

\[ (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \]

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}. \]

Это даёт нам два решения:

1. \( x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \),
2. \( x = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).

Теперь нам нужно проверить каждое из этих решений, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не дают отрицательное значение под корнем.

Подставим \( x = 4 \):

\[ \sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3. \]

Подставим \( x = -3 \):

\[ \sqrt{(-3)^2 - (-3) - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3. \]

Оба решения подходят, следовательно:

\[ \text{Ответ: } x = 4 \text{ и } x = -3. \]