В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, AO = 10 см, OC = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.

Для решения данной задачи давайте обозначим основания трапеции следующим образом: пусть основание AD равно \( x \), а основание BC равно \( y \). Согласно условию, сумма оснований равна \( 42 \) см, то есть:

\[ x + y = 42 \quad (1) \]

Также известно, что точки O являются точкой пересечения диагоналей. В трапеции, деление диагоналей в точке O делит их относительно оснований в равных пропорциях. Это означает, что:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{10}{4} = \frac{x}{y} \]

Упрощая, мы получаем:

\[ \frac{5}{2} = \frac{x}{y} \]

Отсюда можно выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = \frac{5}{2}y \quad (2) \]

Теперь подставим выражение (2) в уравнение (1):

\[ \frac{5}{2}y + y = 42 \]

Объединим \( y \):

\[ \frac{5y + 2y}{2} = 42 \] \[ \frac{7y}{2} = 42 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 7y = 84 \]

Теперь поделим на 7:

\[ y = 12 \]

Теперь, зная, что \( y = 12 \), подставим это значение в уравнение (1), чтобы найти \( x \):

\[ x + 12 = 42 \] \[ x = 42 - 12 = 30 \]

Таким образом, основания трапеции:

\[ AD = x = 30 \text{ см} \quad и \quad BC = y = 12 \text{ см}. \]

Ответ: основания трапеции равны 30 см и 12 см.