Для решения задачи о плотности шара, плавающего на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, можно использовать принцип Архимеда и условия равновесия.
Обозначим плотность шара как ρш. В данной системе для того, чтобы 3/4 объёма шара находилось выше границы раздела, 1/4 его объёма должно находиться в жидкости с плотностью ρ2, а 3/4 — в жидкости с плотностью ρ1.
По принципу Архимеда, сила, действующая на шар, равна весу вытесненной жидкости. Для жидкости с плотностью ρ2 (где находится 1/4 объёма шара) сила Архимеда будет:
[ F_{А1} = V_{ш} \cdot \frac{1}{4} \cdot \rho_2 \cdot g, ]
где ( V_{ш} ) — объём шара, g — ускорение свободного падения (мы можем его не учитывать, так как оно сокращается).
И для жидкости с плотностью ρ1:
[ F_{А2} = V_{ш} \cdot \frac{3}{4} \cdot \rho_1 \cdot g. ]
Таким образом, в состоянии равновесия сумма сил Архимеда должна равняться силе тяжести шара, которая равна:
[ F_{т} = V_{ш} \cdot \rho_{ш} \cdot g. ]
Теперь можем записать уравнение равновесия:
[ F_{А1} + F_{А2} = F_{т}. ]
Подставим выражения:
[ V_{ш} \cdot \frac{1}{4} \cdot \rho_2 \cdot g + V_{ш} \cdot \frac{3}{4} \cdot \rho_1 \cdot g = V_{ш} \cdot \rho_{ш} \cdot g. ]
Убираем общий множитель ( V_{ш} \cdot g ) (при условии, что ( V_{ш} > 0 ) и ( g > 0 )):
[ \frac{1}{4} \cdot \rho_2 + \frac{3}{4} \cdot \rho_1 = \rho_{ш}. ]
Теперь подставим известные значения плотностей:
ρ1 = 400 кг/м³,
ρ2 = 850 кг/м³.
Подставляем их в формулу:
[ \rho_{ш} = \frac{1}{4} \cdot 850 + \frac{3}{4} \cdot 400. ]
Считаем:
[ \rho_{ш} = \frac{850}{4} + \frac{1200}{4} = \frac{2050}{4} = 512.5 \text{ кг/м}^3. ]
Таким образом, плотность шара, при которой 3/4 его объёма будут находиться выше границы раздела жидкостей, составляет 512.5 кг/м³.
