Шар плавает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, плотности которых равны ρ1=400 кг/м3 и ρ2=850 кг/м3 (см. рисунок). Найдите плотность шара, при которой 3/4 его…

Для решения задачи о плотности шара, плавающего на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, можно использовать принцип Архимеда и условия равновесия.

Обозначим плотность шара как ρш. В данной системе для того, чтобы 3/4 объёма шара находилось выше границы раздела, 1/4 его объёма должно находиться в жидкости с плотностью ρ2, а 3/4 — в жидкости с плотностью ρ1.

По принципу Архимеда, сила, действующая на шар, равна весу вытесненной жидкости. Для жидкости с плотностью ρ2 (где находится 1/4 объёма шара) сила Архимеда будет:

\[ F_{А1} = V_{ш} \cdot \frac{1}{4} \cdot \rho_2 \cdot g, \]

где \( V_{ш} \) — объём шара, g — ускорение свободного падения (мы можем его не учитывать, так как оно сокращается).

И для жидкости с плотностью ρ1:

\[ F_{А2} = V_{ш} \cdot \frac{3}{4} \cdot \rho_1 \cdot g. \]

Таким образом, в состоянии равновесия сумма сил Архимеда должна равняться силе тяжести шара, которая равна:

\[ F_{т} = V_{ш} \cdot \rho_{ш} \cdot g. \]

Теперь можем записать уравнение равновесия:

\[ F_{А1} + F_{А2} = F_{т}. \]

Подставим выражения:

\[ V_{ш} \cdot \frac{1}{4} \cdot \rho_2 \cdot g + V_{ш} \cdot \frac{3}{4} \cdot \rho_1 \cdot g = V_{ш} \cdot \rho_{ш} \cdot g. \]

Убираем общий множитель \( V_{ш} \cdot g \) (при условии, что \( V_{ш} > 0 \) и \( g > 0 \)):

\[ \frac{1}{4} \cdot \rho_2 + \frac{3}{4} \cdot \rho_1 = \rho_{ш}. \]

Теперь подставим известные значения плотностей:

ρ1 = 400 кг/м³, ρ2 = 850 кг/м³.

Подставляем их в формулу:

\[ \rho_{ш} = \frac{1}{4} \cdot 850 + \frac{3}{4} \cdot 400. \]

Считаем:

\[ \rho_{ш} = \frac{850}{4} + \frac{1200}{4} = \frac{2050}{4} = 512.5 \text{ кг/м}^3. \]

Таким образом, плотность шара, при которой 3/4 его объёма будут находиться выше границы раздела жидкостей, составляет 512.5 кг/м³.