Бросают игральный кубик найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y(X)=sin[π(x-3)/6], где x- число выпавших очков

Для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины \( Y(X) = \sin\left(\frac{\pi (x - 3)}{6}\right) \), где \( x \) — число выпавших очков на игральном кубике (то есть может принимать значения от 1 до 6), вам нужно следовать нескольким шагам.

1. Определение функции: Рассмотрим функцию \( Y(X) = \sin\left(\frac{\pi (x - 3)}{6}\right) \). Подставим все возможные значения \( x \) от 1 до 6:

   • \( x = 1 \): \( Y(1) = \sin\left(\frac{\pi (1 - 3)}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( x = 2 \): \( Y(2) = \sin\left(\frac{\pi (2 - 3)}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \)
   • \( x = 3 \): \( Y(3) = \sin\left(\frac{\pi (3 - 3)}{6}\right) = \sin(0) = 0 \)
   • \( x = 4 \): \( Y(4) = \sin\left(\frac{\pi (4 - 3)}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \)
   • \( x = 5 \): \( Y(5) = \sin\left(\frac{\pi (5 - 3)}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( x = 6 \): \( Y(6) = \sin\left(\frac{\pi (6 - 3)}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)

   Итак, у нас есть значения:

   • \( Y(1) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( Y(2) = -\frac{1}{2} \)
   • \( Y(3) = 0 \)
   • \( Y(4) = \frac{1}{2} \)
   • \( Y(5) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( Y(6) = 1 \)

2. Математическое ожидание: Математическое ожидание \( E[Y] \) вычисляется как: \[ E[Y] = \sum_{i=1}^{6} P(X = i) \cdot Y(i) \] Так как игральный кубик справедливый, вероятность \( P(X = i) = \frac{1}{6} \) для каждого \( i \):

   \[ E[Y] = \frac{1}{6} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) \]

   Упростим: \[ E[Y] = \frac{1}{6} \left( 1 \right) = \frac{1}{6} \]

3. Дисперсия: Для поиска дисперсии \( D[Y] \) сначала необходима величина \( E[Y^2] \): \[ Y^2(1) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}, \quad Y^2(2) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad Y^2(3) = 0, \quad Y^2(4) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad Y^2(5) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}, \quad Y^2(6) = 1 \]

   Теперь находим \( E[Y^2] \): \[ E[Y^2] = \frac{1}{6} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{6}{4} + 1 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{10}{4} \right) = \frac{5}{12} \]

   Теперь можем найти дисперсию: \[ D[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{5}{12} - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{5}{12} - \frac{1}{36} \]

   Приведем к общему знаменателю: \[ D[Y] = \frac{15}{36} - \frac{1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \]

Таким образом, математическое ожидание \( E[Y] = \frac{1}{6} \) и дисперсия \( D[Y] = \frac{7}{18} \).