2x²+7x+3>0

Чтобы решить неравенство \(2x^2 + 7x + 3 > 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(2x^2 + 7x + 3 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 2\), \(b = 7\) и \(c = 3\). Подставим значения:

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два различных корня. Найдем их с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим наши значения:

\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Теперь у нас есть корни \(x_1 = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = -3\). У нас также есть точка разбиения на интервалах: \((-∞, -3)\), \((-3, -\frac{1}{2})\) и \((- \frac{1}{2}, +∞)\).

Чтобы определить знак многочлена \(2x^2 + 7x + 3\) на каждом из интервалов, выберем по одному примеру из каждого из интервалов:

1. Для интервала \((-∞, -3)\): выберем \(x = -4\): \[ 2(-4)^2 + 7(-4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7 > 0 \]

2. Для интервала \((-3, -\frac{1}{2})\): выберем \(x = -2\): \[ 2(-2)^2 + 7(-2) + 3 = 8 - 14 + 3 = -3 < 0 \]

3. Для интервала \((- \frac{1}{2}, +∞)\): выберем \(x = 0\): \[ 2(0)^2 + 7(0) + 3 = 3 > 0 \]

Теперь мы можем записать результаты:

• На интервале \((-∞, -3)\): \(2x^2 + 7x + 3 > 0\)
• На интервале \((-3, -\frac{1}{2})\): \(2x^2 + 7x + 3 < 0\)
• На интервале \((- \frac{1}{2}, +∞)\): \(2x^2 + 7x + 3 > 0\)

Итак, наше окончательное решение неравенства \(2x^2 + 7x + 3 > 0\):

\[ x \in (-\infty, -3) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty) \]

Это означает, что неравенство выполняется для \(x < -3\) и \(x > -\frac{1}{2}\).