В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…

Для того чтобы найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) внутри прямоугольника с вершинами \( A(-4; -4) \), \( B(-4; 6) \), \( C(8; 6) \) и \( D(8; -4) \) будет удовлетворять условиям неравенств \( y \leq x \) и \( y \leq 1 \), давайте сначала определим область, которую занимает прямоугольник.

Шаг 1: Найдем размеры прямоугольника

Прямоугольник имеет координаты:

• Левый нижний угол \( A(-4; -4) \)
• Правый верхний угол \( C(8; 6) \)

Это означает, что ширина прямоугольника равна \( 8 - (-4) = 12 \), а высота равна \( 6 - (-4) = 10 \).

Шаг 2: Определим границы области

Теперь рассмотрим неравенства:

1. \( y \leq x \) – это прямая, которая делит плоскость на две части. Все точки ниже этой прямой будут удовлетворять этому неравенству.
2. \( y \leq 1 \) – это горизонтальная линия, которая также делит плоскость.

Шаг 3: Найдите пересечения

Чтобы найти пересечения, нужно определить, где линии \( y = x \) и \( y = 1 \) пересекаются:

• Подставим \( y = 1 \) в уравнение \( y = x \): \[ 1 = x \implies x = 1 \] Таким образом, точка пересечения: \( (1, 1) \).

Шаг 4: Область, удовлетворяющая неравенствам

Теперь нужно найти, где находятся точки \( y = x \) и \( y = 1 \) в пределах прямоугольника. Для этого:

• Линия \( y = x \) пересекает верхнюю границу прямоугольника на \( x = 6 \) (так как \( y = 6 \) соответствует \( x = 6 \); точка пересечения - \( (6, 6) \)).
• Линия intersects с левой границей на \( x = -4 \) (где \( y = -4 \)) и с нижней границей на \( x = -4 \) (где также \( y = -4 \)), что исключается.

Шаг 5: Исходная область

Область, которая удовлетворяет обоим неравенствам, образует треугольник с вершинами:

• \( (1, 1) \)
• \( (6, 1) \)
• \( (6, 6) \)

Шаг 6: Вычисление площадей

• Площадь треугольника с вершинами \( (1, 1) \), \( (6, 1) \), \( (6, 6) \): \[ P_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times (6 - 1) \times (6 - 1) = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \]

• Площадь прямоугольника: \[ P_{\text{прямоугольника}} = \text{ширина} \times \text{высота} = 12 \times 10 = 120 \]

Шаг 7: Вероятность

Теперь вероятность того, что случайная точка внутри прямоугольника удовлетворяет условиям, равна: \[ P = \frac{P_{\text{треугольника}}}{P_{\text{прямоугольника}}} = \frac{12.5}{120} = \frac{1}{9.6} \approx 0.1042 \]

Таким образом, вероятность того, что координаты точки \( X(x; y) \) принадлежат области, заданной этими неравенствами, примерно равна \( 0.1042 \) или \( 10.42\% \).