Сфера касается плоскости равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно 5 см. Найдите радиус сферы.

Для решения задачи начнем с определения радиуса вписанной окружности (r) равностороннего треугольника:

1. Дано, что радиус вписанной окружности равен \( r = 4 \) см.

Формула для радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника с длиной стороны \( a \) представлена как:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Теперь можно выразить длину стороны \( a \):

\[ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Умножим обе стороны на 6:

\[ 24 = a \sqrt{3} \]

Теперь поделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Теперь рассмотрим расстояние от центра сферы до стороны треугольника. Дано, что это расстояние равно 5 см, и этот центр совпадает с центром вписанной окружности треугольника. Радиус сферы \( R \) можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, если \( d \) — расстояние от центра вписанной окружности до стороны, а \( r \) — радиус вписанной окружности, то:

\[ R = r + d \]

Подставляя известные значения:

\[ R = 4 + 5 = 9 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус сферы равен 9 см.