Сфера касается плоскости равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно 5 см. Найдите…

Для решения этой задачи начнем с определения необходимых параметров равностороннего треугольника.

1. Радиус вписанной окружности (r) равностороннего треугольника равен 4 см. Он может быть вычислен по формуле: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6}, \] где \(a\) — длина стороны треугольника. Перепишем формулу для нахождения стороны: \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \, \text{см}. \]

2. Далее, высота (h) равностороннего треугольника также может быть найдена по формуле: \[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см}. \]

3. У нас есть данные о расстоянии от центра сферы до стороны треугольника, равное 5 см. Это означает, что высота от вершины треугольника до середины основания (где находится центр вписанной окружности) составляет 12 см. Следовательно, расстояние от центра треугольника до ближайшей стороны, равно 5 см, можно записать в виде: \[ R - r = 5, \] где \(R\) — радиус сферы.

   Подставим значение радиуса вписанной окружности: \[ R - 4 = 5. \] Тогда, решая уравнение, получаем: \[ R = 5 + 4 = 9 \, \text{см}. \]

Таким образом, радиус сферы равен 9 см.