- x²+6x+8>0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 6x + 8 > 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \).
Находим дискриминант: Формула для дискриминанта имеет вид \( D = b^2 - 4ac \). Здесь:
- \( a = 1 \)
- \( b = 6 \)
- \( c = 8 \)
Подставляем значения: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Находим корни уравнения: Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \] получаем: \[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Таким образом, корни уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \) — это \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -4 \).
Анализируем знаки на интервалах: Мы имеем три интервала для анализа: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, -2) \) и \( (-2, +\infty) \).
- Интервал \( (-\infty, -4) \): выберем, например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 6(-5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 \]
- Интервал \( (-4, -2) \): выберем \( x = -3 \): \[ (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 \]
- Интервал \( (-2, +\infty) \): выберем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 6(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8 > 0 \]
Сделаем выводы: Неравенство \( x^2 + 6x + 8 > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (-2, +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty, -4) \cup (-2, +\infty) \)
