Сделай номер 4

Конечно, давай разберём задачу 4.

Задача: Докажите, что число 36^81 делится на 11.

Для доказательства воспользуемся признаком делимости чисел:

1. Найди остаток от деления 36 на 11: 36 делим на 11, получаем 3, остаток 3.

2. Поскольку 36 ≡ 3 (mod 11), то 36^81 можно записать как: 3^81 (mod 11)

3. Найдём, чему равен остаток от деления 3^81 на 11. Для этого нам поможет малая теорема Ферма, которая говорит, что если a не делится на р (простое число), то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

4. В нашем случае a = 3, p = 11. Значит, 3^10 ≡ 1 (mod 11).

5. Теперь разложим 3^81 по модулю 3^10: 81 = 8 * 10 + 1 Поэтому 3^81 = (3^10)^8 * 3^1.

6. Теперь, учитывая малую теорему Ферма, (3^10)^8 ≡ 1^8 ≡ 1 (mod 11).

7. Следовательно, 3^81 ≡ 1 * 3 ≡ 3 (mod 11).

8. Поскольку 3 не равно 0 (mod 11), следовательно, извиняюсь, 36^81 не делится на 11.

Кажется, была ошибка про делимость, лучше пересмотреть условия.

Если есть ещё вопросы, пиши!