В треугольнике QRT  ∠T=105°,  ∠R=30°,  RT=10√2. Найди длину TQ

Для нахождения длины стороны TQ в треугольнике QRT, можно использовать закон синусов.

Сначала определим угол Q. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

∠Q = 180° - ∠T - ∠R = 180° - 105° - 30° = 45°.

Теперь мы знаем все углы треугольника: ∠T = 105°, ∠R = 30°, ∠Q = 45°.

Согласно закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( A, B, C \) — противолежащие углы. В нашем случае:

• Сторона RT против угла Q: RT = 10√2 (это сторона c),
• Сторона TQ против угла R: TQ (это сторона a),
• Сторона QR против угла T: QR (это сторона b).

Теперь подставим известные значения в закон синусов:

\[ \frac{TQ}{\sin R} = \frac{RT}{\sin Q}. \]

Значит,

\[ \frac{TQ}{\sin 30°} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 45°}. \]

Подставим значения синусов:

• \(\sin 30° = \frac{1}{2}\),
• \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь у нас есть:

\[ \frac{TQ}{\frac{1}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot 2 = 20. \]

Теперь мы имеем:

\[ \frac{TQ}{\frac{1}{2}} = 20. \]

Умножим обе стороны на \(\frac{1}{2}\):

\[ TQ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10. \]

Таким образом, длина стороны TQ равна 10.