решите неравенства x²+2x-120<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 2x - 120 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 120 = 0 \).
Для этого используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484. \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 22}{2}. \]
Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{-24}{2} = -12. \]
Теперь, имея корни \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = -12 \), можем определить знаки выражения \( x^2 + 2x - 120 \) на интервалах, которые они определяют: \( (-\infty, -12) \), \( (-12, 10) \) и \( (10, +\infty) \).
Для интервала \( (-\infty, -12) \): Например, подставим \( x = -13 \): \[ (-13)^2 + 2(-13) - 120 = 169 - 26 - 120 = 23 \quad (\text{положительное}) \]
Для интервала \( (-12, 10) \): Например, подставим \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 120 = -120 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для интервала \( (10, +\infty) \): Например, подставим \( x = 11 \): \[ 11^2 + 2(11) - 120 = 121 + 22 - 120 = 23 \quad (\text{положительное}) \]
Таким образом, нашему неравенству \( x^2 + 2x - 120 < 0 \) удовлетворяет только интервал \( (-12, 10) \).
Финальный ответ: \[ (-12, 10) \]
