Прямаяy=2x+5является касательной к графику функцииy=x3-4x2+6x+5.Найдите абсциссу точки касания.
Привет! Давай разберемся с заданием по профильной математике!
1. Суть задачи
Мы должны понять, что прямая \(y = 2x + 5\) является касательной к графику функции \(y = x^3 - 4x^2 + 6x + 5\). Чтобы найти абсциссу точки касания, нам нужно удовлетворить два условия: равенство значений функции и производных в этой точке.
2. Полное решение
Сначала находим производную функции \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x + 5\): \[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 6. \] Мы хотим, чтобы производная в точке касания равнялась угловому коэффициенту прямой (т.е. \(f'(x) = 2\)): \[ 3x^2 - 8x + 6 = 2 \implies 3x^2 - 8x + 4 = 0. \] Решаем этоQuadratic уравнение, используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{6} = \left\{2, \frac{2}{3}\right\}. \]
Теперь проверим, какой из корней удовлетворяет условию касания. Подставляя \(x = 2\), мы должны посмотреть, совпадает ли \(y\) от функции и от прямой:
- Для \(x = 2\): \[ f(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 12 + 5 = 9, \] \[ y = 2 \cdot 2 + 5 = 9. \] Совпадает.
Проверим второй корень (\(x = \frac{2}{3}\)):
- Для \(x = \frac{2}{3}\): \[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 6\left(\frac{2}{3}\right) + 5, \] Это сложнее вычислить, но после расчетов можно обнаружить, что это значение не совпадает с прямой.
Поэтому искомая абсцисса точки касания равна \(2\).
3. Сравнение ответов
Твой ответ был \(-1\), а правильный ответ \(2\).
4. Почему твой ответ был неверным
Твой ответ не совпадает, потому что либо ты не проверил правильно условия касания, либо допустил ошибку при решении уравнения или запуске производной. Важно всегда проверять оба условия: производную и значения функции.
Если что-то непонятно, дай знать, я поясню подробнее! Оцени, пожалуйста, мой ответ лайком или дизлайком!
