Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и сделать чертеж. y=x ;y=1/x; x=2;

Question 1

Задача Задача №2204378

А

Аноним

12 ноября 2024 14:29 · публичный вопрос

А

Аноним 12 ноября 2024 14:29

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и сделать чертеж. y=x ;y=1/x; x=2;

Answer

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = x \), \( y = \frac{1}{x} \) и прямой \( x = 2 \), начнем с построения графиков этих функций и определения точек пересечения.

Найдем точки пересечения кривых:
- Установим равенство \( x = \frac{1}{x} \). Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x > 0 \)): \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{(учитываем только положительное значение, так как мы рассматриваем } x > 0) \]
- Теперь подставим \( x = 1 \) в обе функции, чтобы найти \( y \): \[ y = 1 \]

Таким образом, точки пересечения между функциями \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \) находятся в точке \( (1, 1) \).

Определим границы интегрирования:
- Мы хотим найти площадь, ограниченную:
  - Между \( x = 1 \) и \( x = 2 \)
  - Под функцией \( y = \frac{1}{x} \) и над функцией \( y = x \)
Запишем интеграл для нахождения площади: Площадь \( A \) фигуры можно выразить как разность между значениями функций \( \frac{1}{x} \) и \( x \) на интервале от 1 до 2: \[ A = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - x \right) dx \]
Вычислим интеграл:
- Первым делом найдём неопределенный интеграл: \[ \int \left( \frac{1}{x} - x \right) dx = \ln |x| - \frac{x^2}{2} + C \]
- Теперь подставим пределы интегрирования: \[ A = \left[ \ln |x| - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \]
- Высчитаем это значение: \[ A = \left( \ln 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( \ln 1 - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ A = \left( \ln 2 - 2 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \] \[ A = \ln 2 - 2 + \frac{1}{2} \] \[ A = \ln 2 - \frac{3}{2} \]
Результат: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( \ln 2 - \frac{3}{2} \).

Теперь, чтобы сделать чертеж, вам поможет следующая схема:

Начертите оси \( x \) и \( y \).
Изобразите прямую \( y = x \) и гиперболу \( y = \frac{1}{x} \).
Обозначьте точки пересечения и проведите вертикальную линию \( x = 2 \), заливая область между функциями, чтобы выделить нужную фигуру.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!

Question 2

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и сделать чертеж. y=x ;y=1/x; x=2;

Answer

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = x \), \( y = \frac{1}{x} \) и прямой \( x = 2 \), начнем с построения графиков этих функций и определения точек пересечения. 1. **Найдем точки пересечения кривых**: - Установим равенство \( x = \frac{1}{x} \). Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x > 0 \)): \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{(учитываем только положительное значение, так как мы рассматриваем } x > 0) \] - Теперь подставим \( x = 1 \) в обе функции, чтобы найти \( y \): \[ y = 1 \] Таким образом, точки пересечения между функциями \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \) находятся в точке \( (1, 1) \). 2. **Определим границы интегрирования**: - Мы хотим найти площадь, ограниченную: - Между \( x = 1 \) и \( x = 2 \) - Под функцией \( y = \frac{1}{x} \) и над функцией \( y = x \) 3. **Запишем интеграл для нахождения площади**: Площадь \( A \) фигуры можно выразить как разность между значениями функций \( \frac{1}{x} \) и \( x \) на интервале от 1 до 2: \[ A = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - x \right) dx \] 4. **Вычислим интеграл**: - Первым делом найдём неопределенный интеграл: \[ \int \left( \frac{1}{x} - x \right) dx = \ln |x| - \frac{x^2}{2} + C \] - Теперь подставим пределы интегрирования: \[ A = \left[ \ln |x| - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \] - Высчитаем это значение: \[ A = \left( \ln 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( \ln 1 - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ A = \left( \ln 2 - 2 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \] \[ A = \ln 2 - 2 + \frac{1}{2} \] \[ A = \ln 2 - \frac{3}{2} \] 5. **Результат**: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( \ln 2 - \frac{3}{2} \). Теперь, чтобы сделать чертеж, вам поможет следующая схема: - Начертите оси \( x \) и \( y \). - Изобразите прямую \( y = x \) и гиперболу \( y = \frac{1}{x} \). - Обозначьте точки пересечения и проведите вертикальную линию \( x = 2 \), заливая область между функциями, чтобы выделить нужную фигуру. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!