Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника ( ABC ), можно использовать формулу:
[
R = \frac{a}{2 \sin A}
]
где ( a ) — сторона, противоположная углу ( A ), а ( R ) — радиус описанной окружности.
В данном случае нам известен угол ( C = 120^\circ ) и сторона ( AB = c = 17 \sqrt{3} ). Надо найти радиус описанной окружности ( R ).
Сначала найдем сторону ( a ) и угол ( A ). Мы можем использовать закон синусов, который гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Здесь ( c = AB ), и мы можем записать его значение:
[
\frac{17 \sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} = \frac{a}{\sin A}
]
Знаем, что ( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда:
[
\frac{17 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 34
]
Таким образом, из закона синусов имеем:
[
\frac{a}{\sin A} = 34
]
Находим ( R ):
Так как у нас нет значений сторон ( a ) и ( b ), рассчитаем через сторону ( c ) и угол ( C ):
[
R = \frac{c}{2 \sin C}
]
Теперь подставим ( c ) и ( \sin(120^\circ) ):
[
R = \frac{17 \sqrt{3}}{2 \cdot \sin(120^\circ)} = \frac{17 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{17 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 17
]
Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ( ABC ):
[
R = 17
]
