В параллелограмме ABCD Диагональ АС В 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 1°. Найдите меньший угол между диагоналями параллело- грамма. Ответ дайте в градусах.
Для решения задачи начнем с того, что обозначим стороны и углы параллелограмма ABCD. Пусть длина стороны AB равна \( a \), тогда согласно условию длина диагонали AC будет \( 2a \). Угол \( \angle ACD \) равен \( 1° \).
В параллелограмме диагонали пересекаются, и углы между диагоналями равны. Обозначим угол между диагоналями AC и BD как \( x \).
Сначала найдем угол \( \angle ABC \):
- В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \( \angle ABC = \angle ACD = 1° \).
- Сумма углов в параллелограмме равна \( 360° \). Следовательно, \( \angle DAB + \angle ABC = 180° \), откуда \[ \angle DAB = 180° - 1° = 179°. \]
Используя теорему о диагоналях, можем выразить угол между диагоналями через известные значения. Углы между диагоналями определяются следующим образом: \[ \sin \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{a}{2a} \sin(1°) = \frac{1}{2} \sin(1°). \]
Следовательно, \[ \frac{x}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{2} \sin(1°)\right). \]
Таким образом, угол \( x \) будет равен: \[ x = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2} \sin(1°)\right). \]
Приблизительно, для малых углов, \( \sin(1°) \approx 0.01745 \), тогда: \[ \frac{x}{2} \approx \arcsin\left(\frac{1}{2} \cdot 0.01745\right) \approx \arcsin(0.008725). \]
Это значение угла можно рассчитать, что даст: \[ x \approx 0.01745 \text{ рад} \approx 1°. \]
Так как угол между диагоналями будет примерно равен \( 1° \), можно сказать, что меньший угол между диагоналями параллелограмма ABCD также равен \( 1° \).
Таким образом, ответ: \( 1° \).
