Выполните действия: а) (2√5 + 1)(2√5 - 1); б) (5√7 - √13)(√13 + 5√7); в) (3√2 - 2√3)(2√3 + 3√2); г) (1 + 3√5)^2; д) (2√3 - 7)^2; e) (2√10 - √2)^2.
Конечно! Давайте решим каждый из этих выражений шаг за шагом.
а) \((2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1)\)
Это выражение представляет собой разность квадратов. Мы можем использовать формулу \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \).
Где \( a = 2\sqrt{5} \) и \( b = 1 \).
Тогда:
\[
(2\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19
\]
б) \((5\sqrt{7} - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt{7})\)
Здесь применим распределительный закон:
\[
= 5\sqrt{7} \cdot \sqrt{13} + 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{7} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 5\sqrt{7}
\]
Соберем все вместе:
\[
= 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162
\]
в) \((3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})\)
Аналогично, используя распределение:
\[
= 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}
\]
Получаем:
\[
= 6\sqrt{6} + 18 - 12 - 6\sqrt{6} = 18 - 12 = 6
\]
г) \((1 + 3\sqrt{5})^2\)
Используем формулу квадрата суммы:
\[
(1 + 3\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}
\]
д) \((2\sqrt{3} - 7)^2\)
Также используем формулу квадрата разности:
\[
(2\sqrt{3} - 7)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}
\]
е) \((2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2\)
Применим ту же формулу квадрата разности:
\[
(2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 40 - 4\sqrt{20} + 2 = 42 - 8\sqrt{5}
\]
Вот ваши решения! Если есть вопросы относительно каких-либо шагов, дайте знать, я с удовольствием объясню!
