(2+7x)^2<=(4-3x)^2

Давайте решим неравенство \((2 + 7x)^2 \leq (4 - 3x)^2\).

1. Раскроем квадрат каждой стороны:

   • Левая сторона: \((2 + 7x)^2 = 4 + 28x + 49x^2\)
   • Правая сторона: \((4 - 3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2\)

2. Запишем неравенство: \[ 4 + 28x + 49x^2 \leq 16 - 24x + 9x^2 \]

3. Переносим все членов на одну сторону: \[ 49x^2 - 9x^2 + 28x + 24x + 4 - 16 \leq 0 \] \[ 40x^2 + 52x - 12 \leq 0 \]

4. Упростим неравенство (разделим на 4): \[ 10x^2 + 13x - 3 \leq 0 \]

5. Теперь найдем корни уравнения \(10x^2 + 13x - 3 = 0\), используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 169 + 120 = 289 \]

Обратите внимание, что дискриминант положительный, и мы можем найти два корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{20} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \]

6. Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = -\frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{5}\). Нужно определить, где парабола \(10x^2 + 13x - 3\) меньше или равна нулю. Парабола открывается вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

7. Записываем ответ: \[ -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{5} \]

Таким образом, решения неравенства находятся в интервале \(x \in \left[-\frac{3}{2}, \frac{1}{5}\right]\).