Две стороны треугольника равны 10 и 12 см,а угол между ними 135°.Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Чтобы найти третью сторону треугольника, можно воспользоваться теоремой косинусов. Если обозначим стороны треугольника как \(a = 10 \, см\), \(b = 12 \, см\) и угол между ними как \(\gamma = 135°\), то третья сторона \(c\) можно найти по формуле:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Сначала вычислим \(\cos(135°)\). Значение косинуса угла 135° равно \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим значения в формулу:

\[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Теперь подставим числа:

\[ c^2 = 100 + 144 + 120\sqrt{2} \]

Таким образом:

\[ c^2 = 244 + 120\sqrt{2} \]

Теперь найдем значение \(c\):

\[ c = \sqrt{244 + 120\sqrt{2}} \]

Следующий шаг — находить площадь треугольника. Для этого удобно использовать формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \]

Значение \(\sin(135°)\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \]

Итак, третья сторона треугольника \(c = \sqrt{244 + 120\sqrt{2}} \, см\), а площадь треугольника равна \(30\sqrt{2} \, см^2\).