Реши пример
Привет! Давай решим это неравенство.
У нас есть:
\[3 \times 4^x - 7 \times 2^{x+1} - 5 \leq 0\]
Шаги решения:
Упростим выражение:
- \(7 \times 2^{x+1}\) можно переписать как \(14 \times 2^x\).
Получим: \[3 \times 4^x - 14 \times 2^x - 5 \leq 0\]
Теперь заметим, что \(4^x = (2^x)^2\). Подставим \(y = 2^x\).
- Получаем: \(3y^2 - 14y - 5 \leq 0\).
Это квадратное неравенство. Решим его через дискриминант:
- Найдем корни квадратного уравнения \(3y^2 - 14y - 5 = 0\).
Дискриминант: \(\Delta = 14^2 - 4 \times 3 \times (-5) = 196 + 60 = 256\).
Корни уравнения: \[y_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{6} = \frac{30}{6} = 5\] \[y_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]
Учитывая знак неравенства, решаем \(y\) на промежутке: \(-\frac{1}{3} \leq y \leq 5\).
Поскольку \(y = 2^x\) и \(2^x\) всегда положительно:
- Используем \(0 < 2^x \leq 5\).
Возьмем логарифмы по основанию 2 для решения \(2^x \leq 5\):
- \(x \leq \log_2(5)\).
Ответ: \(0 < x \leq \log_2(5)\).
Вот и все! Если есть вопросы, пиши.
