реши систему уравнений 1 / x + 4 / Y = 4 1 / y - 2 / x = 10 методом замены
Давайте решим систему уравнений методом замены, где у нас есть следующие уравнения:
\( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 \)
\( \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 \)
Для удобства обозначим \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{1}{y} \). Т тогда система уравнений преобразуется в:
\( u + 4v = 4 \) (1)
\( v - 2u = 10 \) (2)
Теперь мы можем выразить одну переменную через другую из одного из уравнений и подставить это значение в другое уравнение.
Решим первое уравнение относительно \( u \):
\( u = 4 - 4v \)
Теперь подставим это выражение в второе уравнение:
\( v - 2(4 - 4v) = 10 \)
Раскроем скобки:
\( v - 8 + 8v = 10 \)
Объединим подобные члены:
\( 9v - 8 = 10 \)
Теперь добавим 8 к обеим сторонам:
\( 9v = 18 \)
Разделим на 9:
\( v = 2 \)
Теперь подставим значение \( v \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( u \):
\( u + 4(2) = 4 \)
\( u + 8 = 4 \)
Теперь вычтем 8:
\( u = 4 - 8 = -4 \)
Теперь у нас есть значения \( u \) и \( v \):
\( u = -4 \) и \( v = 2 \).
Напомним, что \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{1}{y} \):
\( \frac{1}{x} = -4 \) \(\Rightarrow x = -\frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{y} = 2 \) \(\Rightarrow y = \frac{1}{2} \)
Таким образом, решения нашей системы уравнений:
\( x = -\frac{1}{4} \), \( y = \frac{1}{2} \).
