Точка М лежит на стороне АД параллелограмма AВСD причем АМ:МД= 1:2. Выразите векторы МВ и МС через векторы АВза и АD=ђ

Чтобы выразить векторы \( \vec{MB} \) и \( \vec{MC} \) через векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \), начнем с представления точки \( M \) в терминах векторов.

Пусть векторы будут следующими:

• \( \vec{A} \) — вектор, указывающий на точку \( A \),
• \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{AB} \),
• \( \vec{C} = \vec{B} + \vec{AD} \),
• \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{AD} \).

С учетом того, что точка \( M \) делит отрезок \( AD \) в отношении \( AM:MD = 1:2 \), мы можем выразить вектор \( \vec{M} \) следующим образом:

\[ \vec{M} = \frac{2\vec{A} + 1\vec{D}}{3} = \frac{2\vec{A} + 1(\vec{A} + \vec{AD})}{3} = \frac{3\vec{A} + \vec{AD}}{3} = \vec{A} + \frac{1}{3}\vec{AD} \]

Теперь мы можем найти вектор \( \vec{MB} \) и \( \vec{MC} \):

1. Найдем \( \vec{MB} \): \[ \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} = (\vec{A} + \vec{AB}) - \left(\vec{A} + \frac{1}{3}\vec{AD}\right) = \vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AD} \]

2. Теперь найдем \( \vec{MC} \): \[ \vec{C} = \vec{A} + \vec{AD} + \vec{AB} \quad \Rightarrow \quad \vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} = \left(\vec{A} + \vec{AD} + \vec{AB}\right) - \left(\vec{A} + \frac{1}{3}\vec{AD}\right) = \vec{AB} + \vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AD} = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AD} \]

Таким образом, векторы \( \vec{MB} \) и \( \vec{MC} \) выражаются следующим образом:

\[ \vec{MB} = \vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AD} \]

\[ \vec{MC} = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AD} \]

Это и есть искомые выражения для векторов \( \vec{MB} \) и \( \vec{MC} \).