Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2 Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат, нам сначала нужно понять связь между радиусом окружности, описанной около квадрата, и радиусом вписанной окружности.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Для квадрата со стороной \( a \) диагональ можно найти по формуле:

\[ d = a \sqrt{2} \]

Тогда радиус описанной окружности \( R \) будет равен:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Согласно условию задачи, радиус описанной окружности равен \( 4\sqrt{2} \), следовательно:

\[ \frac{a \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ a \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]

Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \):

\[ a = 8 \]

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности \( r \) квадрата, мы используем формулу:

\[ r = \frac{a}{2} \]

Подставляем значение стороны квадрата:

\[ r = \frac{8}{2} = 4 \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 4.