Площади двух подобных треугольников равны 50 дм² и 32 дм², сумма их периметров равна 117 дм. Найдите периметр каждого треугольника.

Для решения задачи о подобии треугольников и нахождении их периметров, воспользуемся свойством подобия.

Пусть \( S_1 = 50 \, \text{дм}^2 \) - площадь первого треугольника, и \( S_2 = 32 \, \text{дм}^2 \) - площадь второго треугольника. По свойству подобия треугольников соотношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров (включая периметры). Обозначим \( k \) - коэффициент подобия, тогда:

\[ \frac{S_1}{S_2} = k^2 \implies \frac{50}{32} = k^2 \implies \frac{25}{16} = k^2 \]

Теперь найдем \( k \):

\[ k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \]

Теперь мы имеем отношение длин (включая периметры) двух треугольников:

\[ \frac{P_1}{P_2} = k = \frac{5}{4} \]

Обозначим периметры треугольников как \( P_1 \) и \( P_2 \). По условию задачи известно, что:

\[ P_1 + P_2 = 117 \, \text{дм} \]

Теперь выразим \( P_2 \) через \( P_1 \):

\[ P_2 = 117 - P_1 \]

Подставляем это выражение в пропорцию:

\[ \frac{P_1}{117 - P_1} = \frac{5}{4} \]

Теперь умножим обе стороны на \( 4(117 - P_1) \):

\[ 4P_1 = 5(117 - P_1) \]

Раскроем скобки:

\[ 4P_1 = 585 - 5P_1 \]

Соберем все \( P_1 \) в одной части:

\[ 4P_1 + 5P_1 = 585 \implies 9P_1 = 585 \]

Теперь найдем \( P_1 \):

\[ P_1 = \frac{585}{9} = 65 \, \text{дм} \]

Теперь подставим значение \( P_1 \) обратно, чтобы найти \( P_2 \):

\[ P_2 = 117 - P_1 = 117 - 65 = 52 \, \text{дм} \]

Таким образом, периметры треугольников:

• Периметр первого треугольника \( P_1 = 65 \, \text{дм} \)
• Периметр второго треугольника \( P_2 = 52 \, \text{дм} \)