А4. Вычислите косинус угла между векторами AD и CD, если: a) A(1; 3), B(4; 7), C(-3; 4) и D(9; 9); б) A(1; 3), B(4; 7), С(9; 9) и D(-3; 4).
Чтобы вычислить косинус угла между векторами, нужно сначала найти координаты векторов. Векторы AD и CD можно выразить через их координаты следующим образом:
Координаты векторов:
- Вектор \(\vec{AD} = D - A = (x_D - x_A, y_D - y_A)\)
- Вектор \(\vec{CD} = D - C = (x_D - x_C, y_D - y_C)\)
Найдём длины векторов:
- Длина \(\vec{AD} = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2}\)
- Длина \(\vec{CD} = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}\)
Скалярное произведение векторов:
- Скалярное произведение \(\vec{AD} \cdot \vec{CD} = (x_D - x_A)(x_D - x_C) + (y_D - y_A)(y_D - y_C)\)
Используя формулу косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AD}| |\vec{CD}|} \]
Теперь применим эти шаги для каждого из подзадач.
a) A(1; 3), B(4; 7), C(-3; 4) и D(9; 9)
Вектор AD: \[ \vec{AD} = (9 - 1, 9 - 3) = (8, 6) \]
Вектор CD: \[ \vec{CD} = (9 - (-3), 9 - 4) = (12, 5) \]
Длина вектора AD: \[ |\vec{AD}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]
Длина вектора CD: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]
Скалярное произведение: \[ \vec{AD} \cdot \vec{CD} = (8)(12) + (6)(5) = 96 + 30 = 126 \]
Теперь находим косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{126}{10 \cdot 13} = \frac{126}{130} = \frac{63}{65} \]
б) A(1; 3), B(4; 7), C(9; 9) и D(-3; 4)
Вектор AD: \[ \vec{AD} = (-3 - 1, 4 - 3) = (-4, 1) \]
Вектор CD: \[ \vec{CD} = (-3 - 9, 4 - 9) = (-12, -5) \]
Длина вектора AD: \[ |\vec{AD}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \]
Длина вектора CD: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]
Скалярное произведение: \[ \vec{AD} \cdot \vec{CD} = (-4)(-12) + (1)(-5) = 48 - 5 = 43 \]
Теперь находим косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{43}{\sqrt{17} \cdot 13} = \frac{43}{13\sqrt{17}} \]
Таким образом, ответы:
a)
\[ \cos(\theta) = \frac{63}{65} \]
б)
\[ \cos(\theta) = \frac{43}{13\sqrt{17}} \]
