Решить уравнение 2cos2x+4sin2x=3
Чтобы решить уравнение \(2\cos(2x) + 4\sin(2x) = 3\), давайте сначала упростим его.
Разделим всё уравнение на 2, чтобы сделать числа более удобными: \[ \cos(2x) + 2\sin(2x) = \frac{3}{2} \]
Переносим \(\cos(2x)\) в другую часть уравнения: \[ 2\sin(2x) = \frac{3}{2} - \cos(2x) \]
Теперь, для анализа, введём новую переменную. Пусть \(y = \sin(2x)\). Тогда \(\cos(2x) = \sqrt{1 - y^2}\). Подставим это в уравнение: \[ 2y = \frac{3}{2} - \sqrt{1 - y^2} \]
Переместим \(\sqrt{1 - y^2}\): \[ \sqrt{1 - y^2} = \frac{3}{2} - 2y \]
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 1 - y^2 = \left(\frac{3}{2} - 2y\right)^2 \] \[ 1 - y^2 = \frac{9}{4} - 6y + 4y^2 \]
Переместим все члены в одну сторону: \[ 0 = 5y^2 - 6y + \frac{5}{4} \]
Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 0 = 20y^2 - 24y + 5 \]
Теперь можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 5 = 576 - 400 = 176 \]
Находим корни уравнения по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{176}}{40} = \frac{24 \pm 4\sqrt{11}}{40} = \frac{6 \pm \sqrt{11}}{10} \]
Теперь у нас есть два возможных значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{6 + \sqrt{11}}{10}, \quad y_2 = \frac{6 - \sqrt{11}}{10} \]
Так как \(y = \sin(2x)\), мы можем найти \(2x\) для каждого значения \(y\): \[ 2x = \arcsin\left(y_1\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(y_1\right) + 2k\pi \] \[ 2x = \arcsin\left(y_2\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(y_2\right) + 2k\pi \]
Разделим на 2, чтобы найти \(x\): \[ x = \frac{1}{2}\arcsin(y_1) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(y_1) + k\pi \] \[ x = \frac{1}{2}\arcsin(y_2) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(y_2) + k\pi \]
Это основные шаги для решения уравнения \(2\cos(2x) + 4\sin(2x) = 3\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!
