Будем считать что вероятности рождения у каждой мамы мальчика и девочки одинаковы, т.е. равны 1/2. Найти вероятность того, что в семье планирующий 4 детей, родятся 1) 4 девочки, 2) 1 девочка и 3 мальчика, 3) 2 девочки и 2 мальчика

Чтобы решить задачу о вероятностях рождения детей, воспользуемся биномиальным распределением. В данном случае вероятность рождения мальчика и девочки равна 1/2 для каждого ребенка. Мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что произойдет ровно \( k \) успехов (в нашем случае — рождения девочек),
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае — 4 ребенка),
• \( k \) — количество успехов (родившихся девочек),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае — 1/2),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать \( k \) успехов из \( n \):

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь давайте посчитаем вероятности для каждого случая.

1. Вероятность рождения 4 девочек:

   • Тут \( n = 4 \), \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{4 - 4} = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 \cdot 1 = \frac{1}{16} \]

2. Вероятность рождения 1 девочки и 3 мальчиков:

   • Тут \( n = 4 \), \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{4 - 1} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

3. Вероятность рождения 2 девочек и 2 мальчиков:

   • Тут \( n = 4 \), \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{4 - 2} = 6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]

Теперь соберём все вероятности:

1. Вероятность рождения 4 девочек: \( \frac{1}{16} \)
2. Вероятность рождения 1 девочки и 3 мальчиков: \( \frac{1}{4} \)
3. Вероятность рождения 2 девочек и 2 мальчиков: \( \frac{3}{8} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!