Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Давайте решим уравнение \( p + q = (p - q)^3 \).

1. Перепишем уравнение: \[ p + q = (p - q)^3 \]

2. Выразим \( p \) через \( q \): \[ p = (p - q)^3 - q \]

3. Установим \( x = p - q \), тогда \( p = x + q \). Подставим \( p \) в уравнение: \[ (x + q) + q = x^3 \] \[ x + 2q = x^3 \] \[ x^3 - x - 2q = 0 \]

4. Теперь выразим \( q \): \[ 2q = x^3 - x \] \[ q = \frac{x^3 - x}{2} \]

5. Далее, так как \( p \) и \( q \) должны быть простыми числами, вернемся к новым значениям: \[ p = x + q = x + \frac{x^3 - x}{2} = \frac{2x + x^3 - x}{2} = \frac{x^3 + x}{2} \]

Значит у нас есть две зависимости: \[ p = \frac{x^3 + x}{2}, \quad q = \frac{x^3 - x}{2} \]

6. Чтобы \( p \) и \( q \) были простыми числами, \( x^3 + x \) и \( x^3 - x \) должны быть четными (при \( x \) - четном) и это требует, чтобы \( q \) также было целым числом.

7. Рассмотрим целые значения \( x \):

• Если \( x = 0 \): \[ p = \frac{0^3 + 0}{2} = 0, \quad q = \frac{0^3 - 0}{2} = 0 \quad (\text{не считаем}) \]

• Если \( x = 1 \): \[ p = \frac{1^3 + 1}{2} = 1, \quad q = \frac{1^3 - 1}{2} = 0 \quad (\text{не считаем}) \]

• Если \( x = 2 \): \[ p = \frac{2^3 + 2}{2} = 5, \quad q = \frac{2^3 - 2}{2} = 3 \]

• Если \( x = 3 \): \[ p = \frac{3^3 + 3}{2} = 21, \quad q = \frac{3^3 - 3}{2} = 12 \quad (\text{непростые}) \]

• Если \( x = 4 \): \[ p = \frac{4^3 + 4}{2} = 68, \quad q = \frac{4^3 - 4}{2} = 32 \quad (\text{непростые}) \]

Таким образом, единственным решением, где \( p \) и \( q \) - простые числа, является \( p = 5 \) и \( q = 3 \) (или \( p = 3 \) и \( q = 5 \)). Это соответствует условиям задачи.

Ответ: \( p = 5, q = 3 \) (или \( p = 3, q = 5 \)).