напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(2;-1)N(4;3)
Чтобы написать уравнение окружности с диаметром MN, нам сначала нужно найти центр окружности и радиус.
- Нахождение центра окружности. Центр окружности находится посередине между двумя точками M и N. Для этого используем формулу среднего арифметического:
\[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]
Где \(M(2; -1)\) и \(N(4; 3)\), тогда:
\[ C\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{-1 + 3}{2}\right) = C\left(3, 1\right) \]
- Нахождение радиуса. Радиус равен половине длины диаметра MN. Чтобы вычислить длину отрезка MN, используем формулу расстояния между двумя точками:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставляем наши точки:
\[ d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Следовательно, радиус \(r\) будет равен половине длины:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \]
- Уравнение окружности. Уравнение окружности в стандартной форме выглядит так:
\[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 \]
Подставляем координаты центра \(C(3, 1)\) и радиус \(r = \sqrt{5}\):
\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 \]
Упрощаем:
\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]
Таким образом, уравнение окружности с диаметром MN, где \(M(2; -1)\) и \(N(4; 3)\), равно:
\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]
