Степень рациональным показателем

Степень с рациональным показателем — это выражение вида \( a^{\frac{m}{n}} \), где \( a \) — основание (некоторое действительное число), \( m \) и \( n \) — целые числа, а \( n \) не равно нулю. Такой вид степени позволяет работать с корнями и дробными показателями.

Например:

• Если \( a = 8 \) и \( m = 1, n = 3 \), то \( 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
• Если \( a = 27 \) и \( m = 2, n = 3 \), то \( 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9 \).

Основные свойства степеней с рациональным показателем:

1. Произведение: \( a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{k}{l}} = a^{\frac{ml + kn}{nl}} \).
2. Частное: \( \frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{k}{l}}} = a^{\frac{ml - kn}{nl}} \).
3. Степень степени: \( (a^{\frac{m}{n}})^k = a^{\frac{mk}{n}} \).
4. Степень произведения: \( (ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}} \).
5. Степень дроби: \( \left( \frac{a}{b} \right)^{\frac{m}{n}} = \frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}} \).

Эти свойства позволяют упрощать и преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональными показателями.