решите уравнение (без дискриминанта) х/х-5+х/х+5=2 2/3

Чтобы решить уравнение

\[ \frac{x}{x - 5} + \frac{x}{x + 5} = \frac{8}{3}, \]

нам сначала нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей \((x - 5)\) и \((x + 5)\) будет \((x - 5)(x + 5)\).

Переписываем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{x(x + 5) + x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{8}{3}. \]

Теперь упрощаем числитель:

\[ x(x + 5) + x(x - 5) = x^2 + 5x + x^2 - 5x = 2x^2. \]

Теперь у нас есть уравнение вида:

\[ \frac{2x^2}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{8}{3}. \]

Далее, перемножим обе стороны уравнения на \((x - 5)(x + 5)\) и 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ 3 \cdot 2x^2 = 8(x - 5)(x + 5). \]

Раскрываем скобки на правой стороне:

\[ 6x^2 = 8(x^2 - 25). \]

Упрощаем правую часть:

\[ 6x^2 = 8x^2 - 200. \]

Теперь переносим все на одну сторону:

\[ 6x^2 - 8x^2 + 200 = 0 \implies -2x^2 + 200 = 0. \]

Умножим на -1:

\[ 2x^2 - 200 = 0. \]

Теперь делим на 2:

\[ x^2 - 100 = 0. \]

Это квадратное уравнение можно решить, добавляя 100 к обеим сторонам:

\[ x^2 = 100. \]

Теперь берем квадратный корень из обеих сторон:

\[ x = 10 \quad \text{или} \quad x = -10. \]

Таким образом, у нас два решения:

\(x = 10\) и \(x = -10\).

Необходимо также проверить, чтобы эти значения не вызывали деление на 0 в исходном уравнении.

Для \(x = 10\):

• \(x - 5 = 10 - 5 = 5 \neq 0\)
• \(x + 5 = 10 + 5 = 15 \neq 0\)

Для \(x = -10\):

• \(x - 5 = -10 - 5 = -15 \neq 0\)
• \(x + 5 = -10 + 5 = -5 \neq 0\)

Оба значения допустимы.

Ответ: \(x = 10\) и \(x = -10\).