Log_3(x + 1) + log_3(x + 3) = 1

Решим уравнение \( \log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1 \).

Сначала применим свойство логарифмов, которое гласит, что \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \). Это позволяет нам объединить два логарифма в один:

\[ \log_3((x + 1)(x + 3)) = 1 \]

Теперь нам нужно избавиться от логарифма. Для этого мы можем использовать определение логарифма: если \( \log_a(b) = c \), то \( a^c = b \). В нашем случае:

\[ 3^1 = (x + 1)(x + 3) \]

Это уравнение можно упростить:

\[ 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 3 = x^2 + 3x + x + 3 \] \[ 3 = x^2 + 4x + 3 \]

Теперь перенесем 3 в левую часть уравнения:

\[ 0 = x^2 + 4x + 3 - 3 \] \[ 0 = x^2 + 4x \]

Теперь можно вынести общий множитель:

\[ 0 = x(x + 4) \]

Решаем это уравнение:

1. \( x = 0 \)
2. \( x + 4 = 0 \) ⇒ \( x = -4 \)

Теперь проверим, годятся ли найденные значения для исходного уравнения.

Для \( x = 0 \): \[ \log_3(0 + 1) + \log_3(0 + 3) = \log_3(1) + \log_3(3) = 0 + 1 = 1 \] Это значение верно.

Для \( x = -4 \): \[ \log_3(-4 + 1) + \log_3(-4 + 3) = \log_3(-3) + \log_3(-1) \] Логарифмы отрицательных чисел не определены. Значит, \( x = -4 \) не является допустимым решением.

Таким образом, единственное решение уравнения:

\[ \boxed{0} \]