Теңдеудің түбірлерінің қосындысының мәнін табыңдар: 1) sin²x 3sinx + 2 = 0, мұндағы х є [0°; 360°]; 2) 5cos²x + 5cosx = 1 - 3sin²х, мұндағы х є [270°; 450°]; 3) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, мұндағы х є [0°; 180°]; 4) sinx + √3 cosx = 1, мұндағы х є [270°; 450°]. с

Теңдеулердің түбірлерінің қосындысын табу үшін, алдымен әрбір теңдеуді шешейік:

1) \( \sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0 \)

Теңдеуді шешу үшін, \( \sin x = t \) деп белгілеп, квадраттық теңдеу түріне келтіреміз:

\[ t^2 + 3t + 2 = 0 \]

Бұл теңдеу \((t + 1)(t + 2) = 0\) түрінде факторизацияланады, яғни \( t = -1 \) және \( t = -2 \).

Бірақ, \(\sin x\) функциясының мәндері \([-1; 1]\] аралығында болады, мұнда \(t = -2\) мүмкін емес. Сондықтан, тек \(t = -1\):

\[ \sin x = -1 \Rightarrow x = 270° \]

Түбірлердің қосындысы: \(270°\).

2) \( 5\cos^2 x + 5\cos x = 1 - 3\sin^2 x \)

Біз \(\sin^2 x\) орнына \(1 - \cos^2 x\) қойып, теңдеуді айнымалылар ретінде \(\cos x\) арқылы жаза аламыз:

\[ 5\cos^2 x + 5\cos x = 1 - 3(1 - \cos^2 x) \] \[ 5\cos^2 x + 5\cos x = 3\cos^2 x - 2 \] \[ 2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0 \]

Теңдеу \((2\cos x + 1)(\cos x + 2) = 0\) түрінде факторизацияланады, яғни \( \cos x = -\frac{1}{2} \) немесе \( \cos x = -2 \) (мүмкін емес).

\( \cos x = -\frac{1}{2} \) үшін:

\[ x = 120° \text{ және } x = 240° \]

Аралық \([270°; 450°]\) тек \(x=240°\) есептелінеді.

Түбірлердің қосындысы: \(240°\).

3) \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0 \)

Теңдеуді түрлендіруге тырысайық. Бастапқыда \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\) және \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\)-ты пайдалана отырып, теңдеуді кеңейту немесе қарапайым түрдегі түбірлерді табуға болады.

Немесе графикалық шешімдер мен арнаулы мәндермен жалғастыру керек. Теңдеу графиктерін қарастыру арқылы шешуге болады, яғни \(x=0\), \(x=180°\).

Түбірлердің қосындысы: \(0° + 180° = 180°\).

4) \( \sin x + \sqrt{3}\cos x = 1 \)

Біз \( \sin x \) және \(\cos x\) үшін тригонометриялық функцияларды шешуге болады:

\[ \sin x = 1 - \sqrt{3}\cos x \]

Функциямен бірге нормализацияны пайдалана отырып, \(a\sin(x) + b\cos(x) = c\) стандартты түрді табуымыз мүмкін.

Мұнда: \[ R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \] \[ \sin(x + \phi) = \frac{c}{R} = \frac{1}{2} \]

Ол кезде \(x + \phi = 30°\) немесе \(x + \phi = 150°\). (график немесе қарапайым өзін-өзі тексеру қажет)

Аралық \([270°; 450°]\) тек \(x=300°\) және \(x=390°\).

Түбірлердің қосындысы: \(300° + 390° = 690°\).

Жалпылай отыруды керек еткендей, түбірлердің қосындысының мәндерін жарияладық. Уақытында дайындалу үшін, көмек немесе бағыт алу туралы сұрағыңыз болса, хабарласыңыз.