У Лены в кармане лежат семечки: 23 тыквенных и 22 семян подсолнечника. Девочка достала 2 семечки. Событие А = {Первая семечка тыквенная}: событие В = {Вторая семечка подсолнечника}. Вычисли полную вероятность события ВБ.
Давайте решим задачу, используя понятия теории вероятностей.
Итак, у нас есть 23 тыквенных семечки и 22 семечка подсолнечника. Всего у Лены в кармане:
\[ N = 23 + 22 = 45 \text{ семечек} \]
Теперь, чтобы вычислить вероятность события \( B \) — того, что вторая семечка будет подсолнечной, нам нужно учесть, что это событие зависит от того, какая семечка была вытащена первой.
Сначала мы определим вероятность того, что первая семечка — тыквенная (событие \( A \)):
- Вероятность события \( A \) (первая семечка тыквенная):
\[ P(A) = \frac{23}{45} \]
Если первая семечка оказалась тыквенной, то теперь в кармане остаётся:
- 22 тыквенных семечки
- 22 семечки подсолнечника
Всего останется:
\[ N' = 22 + 22 = 44 \]
Следовательно, вероятность того, что вторая семечка будет подсолнечной при условии, что первая была тыквенной:
\[ P(B | A) = \frac{22}{44} = \frac{1}{2} \]
- Теперь мы определим вероятность того, что первая семечка — подсолнечная (событие \( A' \)):
\[ P(A') = \frac{22}{45} \]
Если первая семечка оказалась подсолнечной, то остаётся:
- 23 тыквенных семечки
- 21 семечка подсолнечника
Всего остаётся:
\[ N' = 23 + 21 = 44 \]
Следовательно, вероятность того, что вторая семечка будет подсолнечной, если первая была подсолнечной:
\[ P(B | A') = \frac{21}{44} \]
Теперь мы можем вычислить полную вероятность события \( B \):
\[ P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | A') \cdot P(A') \]
Подставим значения в формулу:
\[ P(B) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{23}{45}\right) + \left(\frac{21}{44} \cdot \frac{22}{45}\right) \]
Посчитаем:
- Первая часть:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{23}{45} = \frac{23}{90} \]
- Вторая часть:
\[ \frac{21 \times 22}{44 \times 45} = \frac{462}{1980} = \frac{231}{990} \]
Теперь нам нужно привести дроби к общему знаменателю:
Знаменатель общего множителя между 90 и 990 — это 990. Приводим первую дробь:
\[ \frac{23}{90} = \frac{23 \times 11}{90 \times 11} = \frac{253}{990} \]
Теперь складываем обе члены:
\[ P(B) = \frac{253}{990} + \frac{231}{990} = \frac{484}{990} \]
Сократим эту дробь, если возможно. В данном случае, на наибольший общий делитель (НОД) равен 2:
\[ P(B) = \frac{242}{495} \]
Таким образом, полная вероятность события \( B \) составляет \( \frac{242}{495} \).
