С лодки массой 200 кг, движущейся со скоро- стью 1 м/с, ныряет мальчик массой 50 кг, двигаясь в горизон- тальном направлении. Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика,…
С лодки массой 200 кг, движущейся со скоро- стью 1 м/с, ныряет мальчик массой 50 кг, двигаясь в горизон- тальном направлении. Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика, если он прыгает: а) с кормы со скоростью 4 м/с; б) с носа со скоростью 2 м/с; в) с носа со скоростью 6 м/с?
Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся законом сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов системы до и после события (в данном случае прыжка мальчика) остается постоянной, если на систему не действуют внешние силы.
Импульс (p) определяется как произведение массы (m) на скорость (v):
\[ p = m \cdot v \]
В нашем случае у нас есть лодка и мальчик. Масса лодки \( m_{лодки} = 200 \) кг, масса мальчика \( m_{мальчика} = 50 \) кг. Начальная скорость лодки \( v_{лодки} = 1 \) м/с, и мы обозначим конечную скорость лодки после прыжка как \( v'_{лодки} \).
Сначала рассчитаем общий начальный импульс:
Начальный импульс лодки: \[ p_{лодки} = m_{лодки} \cdot v_{лодки} = 200 \cdot 1 = 200 \text{ кг м/с} \]
Начальный импульс мальчика отсутствует, так как он прыгает в момент начала, и его скорость относительно лодки равна начальной скорости лодки.
Если мальчик прыгает, мы добавляем его импульс к общему импульсу системы.
Теперь рассмотрим три случая по условиям задачи.
a) Прыжок с кормы со скоростью 4 м/с:
При прыжке с кормы скорость мальчика относительно земли будет: \[ v_{мальчика} = v_{лодки} + 4 = 1 + 4 = 5 \text{ м/с} \]
Общий импульс после прыжка: \[ p_{после} = p_{лодки} + p_{мальчика} \] \[ p_{после} = m_{лодки} \cdot v'_{лодки} + m_{мальчика} \cdot v_{мальчика} \]
Подставим значения: \[ 200 = 200 \cdot v'_{лодки} + 50 \cdot 5 \]
Решаем уравнение: \[ 200 = 200v'_{лодки} + 250 \] \[ 200v'_{лодки} = 200 - 250 \] \[ 200v'_{лодки} = -50 \] \[ v'_{лодки} = -0.25 \text{ м/с} \]
Лодка будет двигаться в обратном направлении.
б) Прыжок с носа со скоростью 2 м/с:
При прыжке с носа скорость мальчика будет: \[ v_{мальчика} = v_{лодки} - 2 = 1 - 2 = -1 \text{ м/с} \]
Общий импульс после прыжка: \[ 200 = 200v'_{лодки} + 50 \cdot (-1) \]
Решаем уравнение: \[ 200 = 200v'_{лодки} - 50 \] \[ 200v'_{лодки} = 200 + 50 \] \[ 200v'_{лодки} = 250 \] \[ v'_{лодки} = 1.25 \text{ м/с} \]
Лодка будет двигаться в том же направлении.
в) Прыжок с носа со скоростью 6 м/с:
Скорость мальчика будет: \[ v_{мальчика} = v_{лодки} - 6 = 1 - 6 = -5 \text{ м/с} \]
Общий импульс после прыжка: \[ 200 = 200v'_{лодки} + 50 \cdot (-5) \]
Решаем уравнение: \[ 200 = 200v'_{лодки} - 250 \] \[ 200v'_{лодки} = 200 + 250 \] \[ 200v'_{лодки} = 450 \] \[ v'_{лодки} = 2.25 \text{ м/с} \]
Таким образом, проанализировав три случая, мы получили следующие результаты:
а) -0.25 м/с (лодка движется в обратном направлении);
б) 1.25 м/с (лодка движется в том же направлении);
в) 2.25 м/с (лодка тоже движется в том же направлении).
