Реши неравенство |x^2-6x|>7

Решим неравенство \(|x^2 - 6x| > 7\).

Сначала рассмотрим два случая, поскольку мы имеем модуль:

1. \(x^2 - 6x > 7\)
2. \(x^2 - 6x < -7\)

Решим первый случай:

\[ x^2 - 6x - 7 > 0 \]

Нам необходимо решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 6x - 7 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 8}{2} = -1 \]

Теперь, имея корни \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -1\), мы можем определить интервалы:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, 7) \)
• \( (7, +\infty) \)

Теперь проверим знаки на каждом интервале:

1. Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ x^2 - 6x - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0 \]
2. Для \(-1 < x < 7\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 6 \cdot 0 - 7 = -7 < 0 \]
3. Для \(x > 7\) (например, \(x = 8\)): \[ 8^2 - 6 \cdot 8 - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0 \]

Следовательно, первый случай дает нам интервал:

\[ (-\infty, -1) \cup (7, +\infty) \]

Теперь решим второй случай:

\[ x^2 - 6x + 7 < 0 \]

Рассмотрим уравнение \(x^2 - 6x + 7 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \]

Корни будут:

\[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{8}}{2} = 3 + \sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{8}}{2} = 3 - \sqrt{2} \]

Квадратный trinomial \(x^2 - 6x + 7\) всегда положителен, так как его дискриминант положителен. Это значит, что у него нет решений.

Окончательное решение:

Объединим решения первого случая:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty) \]

Таким образом, ответ - множество решений:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty) \]