реши неравенство x^2-4x+6>|x+2|

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 4x + 6 > |x + 2| \), нам нужно рассмотреть два случая для модуля \( |x + 2| \).

Случай 1: \( x + 2 \geq 0 \) (то есть \( x \geq -2 \))

В этом случае \( |x + 2| = x + 2 \). Неравенство принимает вид: \[ x^2 - 4x + 6 > x + 2 \] Упростим это: \[ x^2 - 4x + 6 - x - 2 > 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 > 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} = \{4, 1\} \] Теперь определим знаки на промежутках \( (-\infty, 1) \), \( (1, 4) \) и \( (4, +\infty) \).

• На промежутке \( (-\infty, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \] (положительно)

• На промежутке \( (1, 4) \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 \] (отрицательно)

• На промежутке \( (4, +\infty) \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 \] (положительно)

Таким образом, для случая \( x \geq -2 \), неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \]

Случай 2: \( x + 2 < 0 \) (то есть \( x < -2 \))

В этом случае \( |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2 \). Неравенство принимает вид: \[ x^2 - 4x + 6 > -x - 2 \] Упростим это: \[ x^2 - 4x + 6 + x + 2 > 0 \] \[ x^2 - 3x + 8 > 0 \] Теперь найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, это неравенство выполняется для всех \( x \).

Итоговое решение

Объединяя два случая:

1. Для \( x < -2 \) неравенство выполняется при всех \( x < -2 \).
2. Для \( x \geq -2 \) неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \).

Таким образом, составим окончательное решение: \[ x < -2 \quad \text{или} \quad x \in (1, 4) \cup (4, +\infty) \]

Итоговое решение: \[ (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \]