14!/7!3!4!

Чтобы вычислить выражение \( \frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} \), сначала давайте разберемся с факториалами.

Факториал \( n! \) обозначает произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \). Например:

• \( 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)

Теперь, используя свойства факториалов, мы можем упростить выражение:

\[ \frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{3! \cdot 4!} \]

Теперь подставим значения \( 3! \) и \( 4! \):

\[ 3! = 6 \quad \text{и} \quad 4! = 24 \]

Таким образом, \( 3! \cdot 4! = 6 \times 24 = 144 \).

Теперь мы можем переписать выражение:

\[ \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{144} \]

Теперь можно вычислить числитель:

\[ 14 \times 13 = 182 \\ 182 \times 12 = 2184 \\ 2184 \times 11 = 24024 \\ 24024 \times 10 = 240240 \\ 240240 \times 9 = 2162160 \\ 2162160 \times 8 = 17297280 \]

Теперь делим:

\[ \frac{17297280}{144} = 120120 \]

Таким образом, значение \( \frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} \) равно 120120.